在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，哪一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：
（1）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。
（2）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
（3）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
（4）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”， 有时被简称作“路径算法”。 最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。
本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。
Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将其加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
（1）初始时，S只包含源点，即S＝v，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或 ）（若u不是v的出边邻接点）。
（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。
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//广度优先搜索之有权最短路径，Dijkstra 算法
1---(1)-->5
| |
(2) (12)
| |
2--(13)---4--(2)--6--(2)--8
| |
(4) (5)
| |
3----(1)----------7
// 1 2 3 4 5 6 7 8
//1 0 2 0 0 1 0 0 0
//2 2 0 4 7 0 0 0 0
//3 0 4 0 0 0 0 1 0
//4 0 7 0 0 12 2 0 0
//5 1 0 0 12 0 0 0 0
//6 0 0 0 2 0 0 5 2
//7 0 0 1 0 0 5 0 0
//8 0 0 0 0 0 2 0 0
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
//节点数
#define M 8
//图的矩阵表示
int matrix[M][M] =
{ 0, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
2, 0, 4, 13, 0, 0, 0, 0,
0, 4, 0, 0, 0, 0, 1, 0,
0, 13, 0, 0, 12, 2, 0, 0,
1, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 2, 0, 0, 5, 2,
0, 0, 1, 0, 0, 5, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0
};
//保存每个节点的最短路径,初始化为xFFFF
int dist[M + 1]
={0xFFFF,0xFFFF,0xFFFF,0xFFFF,0xFFFF,0xFFFF,0xFFFF,0xFFFF,0xFFFF};
//calculate the distance
void Dijkstra_BFS(int startNodeNum)
{
dist[startNodeNum] = 0;
queue<int> q;
q.push(startNodeNum);
while(!q.empty())
{
int top = q.front();
q.pop();
cout<<top<<endl;
int i ;
for(i = 1; i <= M; ++i)
{
if(matrix[top - 1][i - 1 ] != 0 && (dist[top] + matrix[top - 1][i
-1]) < dist[i] )
{
dist[i] = dist[top] + matrix[top - 1][i -1];
q.push(i);
}
}
}
}
void PrintDist()
{
for(int i = 1; i <= M; ++i)
cout<<i<<":"<<dist[i]<< endl;
}
int main()
{
Dijkstra_BFS(1);
PrintDist();
system("pause");
return 0;
}
[1] 最短路径之Dijkstra算法详细讲解
[2] 黄国瑜、叶乃菁，数据结构，清华大学出版社，2001年8月第1版
[3] 最短路径
[4] 李春葆，数据结构教程，清华大学出版社，2005年1月第1版
[5] Dijkstra算法